자연수 합의 마지막 항

어떤 자연수 $X$가 주어졌을 때 이 $X$보다 작거나 같고 가장 큰 마지막 자연수의 수열의 원소를 유도해보자.

먼저 1이상의 자연수 $n$까지의 자연수의 합 $S_n$은 쉽게 구할 수 있다.

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

 

여기서 $X$보다 작은 최대 합은 다음을 만족한다.

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}\le X$$

먼저 최대 합이 $X$와 같을 때의 $n$을 구한다고 생각하면 부등식이 등식이 된다.

$$\frac{n(n+1)}{2}=X$$

위 식을 $n$에 대한 식으로 정리할 수 있다.

$$n^2+n=2X$$

$$n^2+n+\frac{1}{4}=2X+\frac{1}{4}$$

$$4n^2+4n+1=8X+1$$

$$(2n+1{)}^2=8X+1$$

$$2n+1=\sqrt{8X+1}(\because n\ge 1)$$

$$2n=\sqrt{8X+1}-1$$

$$n=\frac{\sqrt{8X+1}-1}{2}$$

 

이때 $n$은 항상 최대 합을 만족하지 않고, 자연수이므로 최대 합의 마지막 원소 $n(=a_n)$은 다음과 같다.

$$n=\lfloor \frac{\sqrt{8X+1}-1}{2}\rfloor$$